매끄러운 사상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

매끄러운 사상은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족하는 스킴 사상으로, 형식적으로 매끄러운, 형식적으로 비분기, 형식적으로 에탈 사상으로 분류된다. 국소 유한 표시 사상이 매끄럽다는 것은 형식적으로 매끄러울 때와 동치이며, 비분기 사상은 켈러 미분층이 0인 경우로 정의된다. 에탈 사상은 평탄하고 비분기이거나, 매끄럽고 비분기인 사상으로, 형식적으로 에탈 사상과 동치이다. 이러한 개념은 대수 기하학에서 중요한 역할을 하며, 기저 변환과 합성에 대해 닫혀 있고, fpqc 위상에서의 내림 성질을 만족한다. 알렉산더 그로텐디크가 대수기하학 원론에서 이 개념들을 도입했다.

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매끄러운 사상
정의
정의	대수기하학에서, 매끄러운 사상은 대략적으로 각 점 근처에서 아핀 공간으로의 평활한 사영과 같이 보이는 사상이다.
관련 개념
관련 개념	분기되지 않은 사상 에탈 사상
성질
성질	매끄러운 사상은 평탄 사상이다. 닫힌 몰입은 매끄러운 사상이 아니다.

2. 정의

스킴 사상 $f\colon X\to S$ 에 대하여, 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 경우, '''형식적으로 매끄러운 사상''', '''형식적으로 비분기 사상''', '''형식적으로 에탈 사상'''이라고 정의한다.

임의의 가환환 $R$ 및 멱영 아이디얼 $\mathfrak n\subseteq R$ 에 대하여, 그 몫 준동형

: $(/\mathfrak n)\colon R\to R/\mathfrak n$

에 대응하는 아핀 스킴 사상

: $(/\mathfrak n)^*\colon\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to\operatorname{Spec}R$

은 항상 닫힌 몰입이다.

이때, $\operatorname{Spec}R$ 는 $\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)$ 을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이 되므로, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다.

2. 1. 형식적으로 매끄러운 · 비분기 · 에탈 사상

스킴 사상

f\colon X\to S

에 대하여,

멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면, $f$ 를 '''형식적으로 매끄러운 사상'''(formally smooth morphism^영어, morphisme formellement lisse^프랑스어)이라고 한다.^[2] 즉, $(/\mathfrak n)^*\colon\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}R,X)\to\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n),X)$ 가 전사 함수이다.
멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면, $f$ 를 '''형식적으로 비분기 사상'''(formally unramified morphism^영어, morphisme formellement non ramifié^프랑스어)이라고 한다.^[2] 즉, $(/\mathfrak n)^*\colon\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}R,X)\to\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n),X)$ 가 단사 함수이다.
멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면, $f$ 를 '''형식적으로 에탈 사상'''(formally étale morphism^영어, morphisme formellement étale^프랑스어)이라고 한다.^[2] 즉, $(/\mathfrak n)^*\colon\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}R,X)\to\hom_{\operatorname{Sch}/S}(\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n),X)$ 가 전단사 함수이다.
:

\begin{matrix}\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)&\to&X\\\downarrow&{\scriptstyle\exists}\nearrow&\downarrow\\\operatorname{Spec}R&\to&S\end{matrix}

이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

형식적으로 매끄럽다는 것은 사상 $\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to X$ 를 그 무한소 근방 $\operatorname{Spec}R$ 로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다.
형식적으로 비분기라는 것은 사상 $\operatorname{Spec}(R/\mathfrak n)\to X$ 를 그 무한소 근방 $\operatorname{Spec}R$ 로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다.
형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다.

"형식적 매끄러움"의 정의에서, 전사를 "전단사" (각각 "단사")로 바꾸면 형식적 에탈 (각각 '''형식적 비분기''')의 정의를 얻는다.

2. 2. 매끄러운 사상

국소 유한 표시 사상

f\colon X\to S

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 '''매끄러운 사상'''(smooth morphism|fr|morphisme lisse^영어)이라고 한다.^[2]

$f$ 는 형식적으로 매끄러운 사상이다.^[2]
$f$ 는 평탄 사상이며, 모든 $x\in X$ 및 $s=f(x)$ 에 대하여 올 $f^{-1}(f(x))$ 은 국소환의 잉여류체 $\kappa(s)=\mathcal O_{S,s}/\mathfrak m(\mathcal O_{S,s})$ 위의 매끄러운 스킴이다.^[2]
$f$ 는 평탄 사상이며, 모든 $x\in X$ 및 $s=f(x)$ 에 대하여 올 $f^{-1}(s)\to\kappa(s)$ 에 대하여 그 완비화 $f^{-1}(s)\times_{\kappa(s)}\bar \kappa(s)$ 는 정칙 스킴이다.^[3]
$f$ 는 평탄 사상이며, 켈러 미분층 $\Omega_{X/S}$ 는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은 $f\colon X\to S$ 의 상대 차원과 같다.
모든 $x\in X$ 에 대하여, $f|_U=\tilde f\circ c$ 가 되는 열린 근방 $U\ni x$ 및 자연수 $n$ 및 사상 $\tilde f\colon U\to\mathbb A^n_S$ 가 존재한다. ( $c\colon\mathbb A^n_S\to S$ 는 아핀 공간의 표준적 사상이다.)
임의의 $x\in X$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in\operatorname{Spec}R\subseteq X$ 및 $f(\operatorname{Spec}R)\subseteq\operatorname{Spec}S\subseteq Y$ 가 존재한다.
가환환 준동형 $S\to R$ 은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다.

가환환

S

가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수

:

\frac{S[x_1,\dots,x_n]}{(f_1,\dots,f_k)}\qquad(n,k\in\mathbb N,\;k\le n,\;f_1,\dots,f_k\in R[x_1,\dots,x_n])

가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''표준 매끄러운 대수'''(standard smooth algebra^영어)라고 한다.

:다항식

\det(\partial f_i/\partial x_j)_{i,j=1,\dots,k}\in S[x_1,\dots,x_n]

은

S[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_k)

속의 가역원이다.

매끄러운 사상에 대한 여러 동치 정의가 있다.

f: X \to S

가 국소적으로 유한 표시 사상이라고 하면, 다음은 동치이다.

1. ''f''는 매끄럽다.

2. ''f''는 형식적으로 매끄럽다.

3. ''f''는 평탄하고, 상대 미분층

\Omega_{X/S}

는 X/S의 상대 차원과 같은 랭크를 갖는 국소 자유층이다.

4. 임의의

x \in X

에 대해,

B = A[t_1, \dots, t_n]/(P_1, \dots, P_m)

이고,

(\partial P_i/\partial t_j)

의 ''m'' x ''m'' 소행렬식에 의해 생성된 아이디얼이 ''B''가 되도록 하는 x의 근방

\operatorname{Spec}B

와

f(x)

의 근방

\operatorname{Spec}A

가 존재한다.

5. 국소적으로, ''f''는

X \overset{g}\to \mathbb{A}^n_S \to S

로 인수분해되며, 여기서 ''g''는 에탈 사상이다.

유형 사상은 매끄럽고 준유한일 때 그리고 그 때만 에탈이다.

매끄러운 사상은 기저 변화와 합성에 대해 안정적이다.

매끄러운 사상은 보편적으로 국소 무순환이다.

2. 3. 비분기 사상

국소 유한 표시 사상

f\colon X\to S

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 '''비분기 사상'''(ramified morphism^영어, morphisme non ramifié^프랑스어)이라고 한다.^[2]

$f$ 는 형식적으로 비분기 사상이다.^[2]
$\Omega_{X/S}=\underline 0$ 이다. 여기서 $\Omega_{X/S}$ 는 켈러 미분층이며, $\underline0$ 은 영가군의 상수층이다.
대각 사상 $\Delta_f\colon X\to X\times_SX$ 은 열린 몰입이다.

스킴 사상

f\colon X\to S

가 '''

x\in X

에서 비분기이다'''는 것은

x

의 어떤 열린 근방

U\ni x

에 대하여

f|_U

가 비분기 사상이라는 것이다.

2. 4. 에탈 사상

국소 유한 표시 사상

f\colon X\to S

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 '''에탈 사상'''(étale morphism|에탈 모피즘^영어, morphisme étale|모르피슴 에탈^프랑스어)이라고 한다.^[2]

$f$ 는 형식적으로 에탈 사상이다.
$f$ 는 평탄 사상이며 비분기 사상이다.
$f$ 는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다.
$f$ 는 매끄러운 사상이며 상대 차원(relative dimension|렐러티브 디멘션^영어)이 0이다.
모든 점 $x\in X$ 에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in \operatorname{Spec}R\subseteq X$ 및 $f(\operatorname{Spec}R)\subseteq\operatorname{Spec}S\subseteq Y$ 가 존재한다.
* 준동형 $S\to R$ 는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다.

위 정의에서, 가환환

S

위의 '''표준 에탈 대수'''(standard étale algebra|스탠다드 에탈 앨지브라^영어)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다.

:

\left(S[x]/(f)\right)_g

여기서

$f\in S[x]$ 는 일계수 다항식이며, $g\in S[x]$ 는 임의의 다항식이다.
$f$ 의 도함수 $\mathrm df/\mathrm dx$ 는 $(S[x]/(f))_g$ 에서 가역원이다. 여기서 $(\cdots)_g$ 는 국소화이고, $(f)$ 는 $f$ 로 생성되는 아이디얼이다.

스킴 사상

f\colon X\to S

가 '''

x\in X

에서 에탈이다'''는 것은

x

의 어떤 열린 근방

U\ni x

에 대하여

f|_U

가 에탈 사상이라는 것이다.

3. 성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 유한 표시 사상	⊃	국소 유한 표시 평탄 사상	⊃	매끄러운 사상
∪	∪
비분기 사상	⊃			에탈 사상
∪	∪
국소 유한 표시 닫힌 몰입	⊃	스킴 동형	⊂	열린 몰입

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

:축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

즉, 임의의 체 $K$ 에 대하여 모든 매끄러운 $K$ -스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 $K$ 위의 $K$ -스킴 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X\to\operatorname{Spec}K$ 는 매끄러운 사상이다.
정칙 스킴이며, $X\to\operatorname{Spec}K$ 는 국소 유한형 사상이다.

\mathfrak P

가 매끄러운 사상, 비분기 사상, 에탈 사상, 형식적으로 매끄러운 사상, 형식적으로 비분기 사상, 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(합성에 대한 닫힘) $X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$ 에 대하여, 만약 $f$ 와 $g$ 가 $\mathfrak P$ -사상이라면 $g\circ f$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.
(밑 변환에 대하여 안정) $X\xrightarrow fY\leftarrow Y'$ 에 대하여, 만약 $f$ 가 $\mathfrak P$ -사상이라면 밑 변환 $f'\colon X\times_YY'\to Y'$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.

\mathfrak P

가 매끄러운 사상, 비분기 사상, 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(fpqc 위상에서의 내림) $X\xrightarrow fY\xleftarrow gY'$ 에 대하여, 만약 밑 변환 $f'\colon X\times_YY'\to Y'$ 가 $\mathfrak P$ -사상이며, $g$ 가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 $\mathfrak P$ -사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

4. 예

다음은 매끄러운 사상, 비분기 사상, 에탈 사상의 정의에서 언급된 조건들이 어떻게 실패할 수 있는지, 그리고 이러한 개념들이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 보여주는 예시들이다.

'''스킴의 사상 예시'''

:

f\colon\text{Spec}_{\mathbb{C}}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(f=y^2 - x^3 - x - 1)}\right) \to \text{Spec}(\mathbb{C})

:이 사상은 야코비 행렬 판별법을 통해 매끄러움을 확인할 수 있다. 야코비 행렬은 다음과 같다.

:

[ 3x^2 - 1, y ]

:이 행렬은

(1/\sqrt{3}, 0), (-1/\sqrt{3}, 0)

에서 0이 되지만, 이 점들에서 다항식

f

의 값은 0이 아니므로, 이 점들은 ''f''로 정의된 스킴 위에 있지 않다. 따라서 주어진 사상은 매끄럽다.

'''매끄러운 스킴의 사영 사상''': 매끄러운 스킴 $Y$ 가 주어졌을 때, 사영 사상 $Y\times X \to X$ 는 항상 매끄럽다.

'''벡터 다발''': 모든 벡터 다발 $E \to X$ 는 스킴 위의 매끄러운 사상이다. 예를 들어, $\mathbb{P}^n$ 위의 $\mathcal{O}(k)$ 와 연관된 벡터 다발은 점 하나를 뺀 가중 사영 공간이다.

:

O(k) = \mathbb{P}(1,\ldots,1,k) - \{[0:\cdots:0:1] \} \to \mathbb{P}^n

:이때 사상은

[x_0:\cdots:x_n:x_{n+1}] \to [x_0:\cdots:x_n]

와 같다.

'''직합 다발''': 직합 다발 $O(k)\oplus O(l)$ 은 섬유 곱을 사용하여 $O(k)\oplus O(l) = O(k)\times_X O(l)$ 와 같이 구성할 수 있다.

4. 1. 매끄러움의 실패

매끄러움이 실패하는 대표적인 경우는 특이점을 갖는 경우이다.

특이점을 갖는 대수 곡선:

대수적으로 닫힌 체

K

에 대하여, 아핀 대수 곡선

\operatorname{Spec}K[x,y]/(xy)

는 원점에서 특이점을 갖는다. 이는 다음과 같은

K

-대수의 준동형

g

는 존재하지만,

:

g\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^2)

:

g\colon x\mapsto z

:

g\colon y\mapsto z

몫 준동형

:

q\colon K[z]/(z^3)\twoheadrightarrow K[x]/(z^2)

에 대하여,

g=q\circ h

가 되는 준동형

:

h\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^3)

은 존재할 수 없기 때문이다. 따라서 이 곡선은 매끄럽지 않다.

아핀 원뿔:

사영 다양체

X

의 기저 대수

R

에 대한

\text{Spec}

은

X

의 아핀 원뿔이라고 불리며, 원점은 항상 특이점이다. 예를 들어, 오중 다면체

:

x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5

의 아핀 원뿔은 원점에서 특이점을 갖는다. 이는 야코비 행렬

:

\begin{bmatrix}5x_0^4 & 5x_1^4 & 5x_2^4 & 5x_3^4 & 5x_4^4\end{bmatrix}

이 원점에서 0이 되기 때문이다.

퇴화하는 평탄족:

평탄족

:

\text{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[t,x,y]}{(xy - t)} \right) \to \mathbb{A}^1_t

에서 올(fiber)들은 원점을 제외하고 모두 매끄럽다. 매끄러움은 밑변환(base-change)에 대해 안정적이어야 하지만, 이 족은 그렇지 않으므로 매끄럽지 않다.

4. 2. 비분기성의 실패

표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체

K

위에서,

:

f\colon K[x]\hookrightarrow K[x,y]/(y^2-x)\cong K[y]

를 생각할 수 있다. 이는 아핀 스킴의 사상

:

\mathbb A^1_K\twoheadrightarrow\mathbb A^1_K

을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로,

K[x,z]/(x^2,z^2-x)

의 멱영 아이디얼

(z)\subset K[x]/(x^2,z^2-x)

을 생각하자. 그렇다면,

K[x]

-대수의 준동형

:

g_\pm\colon K[x,y]/(x^2,y^2-x)\to K[x]/(x^2,z^2-x)

:

g_\pm\colon y\mapsto\pm z

를 정의할 수 있다. 이는 몫

:

q\colon K[x,z]/(x^2,z^2-x)\twoheadrightarrow K[x,z]/(x^2,z^2-x,z)\cong K

과 합성하면

:

q\circ g_\pm\colon K[x,y]/(x^2,y^2-x)\to K

:

q\circ g_\pm\colon x,y\mapsto 0

이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점

\operatorname{Spec}K\to\mathbb A^1_K

을 그 무한소 근방

\operatorname{Spec}K[x]/(x^2,z^2-x)

으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다.^[2]

4. 3. 체 위의 에탈 스킴

체

K

위의 스킴

X\to\operatorname{Spec}K

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[4]^[5]

$X\to\operatorname{Spec}K$ 는 비분기 사상이다.
$X\to\operatorname{Spec}K$ 는 에탈 사상이다.
$X\cong\bigsqcup_{i\in I}\operatorname{Spec}K_i$ 이며, $K_i/K$ 는 유한 분해 가능 확대이다.

체

K

위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군

\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)

의 작용을 갖춘 집합들의 범주

\operatorname{Gal}(K^{\operatorname{sep}}/K)\text{-Set}

와 동치이다.^[6] 구체적으로, 에탈 스킴

X

에 대응하는 집합은 다음과 같다.

:

X\mapsto \hom_{\operatorname{Sch}/\operatorname{Spec}K}(\operatorname{Spec}K^{\operatorname{sep}},X)

여기서

K^{\operatorname{sep}}

은

K

의 분해 가능 폐포이다.

4. 4. 매끄러운 사상의 예 (영어/일본어 문서)

에레스만 정리에 따르면, 매끄러운 사상은 기저 공간 위에 국소적으로 자명한 올다발이다. 다음은 몇 가지 예이다.

다음과 같은 스킴의 사상은 야코비 행렬 판별법에 의해 매끄럽다.

:

\text{Spec}_{\mathbb{C}}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(f=y^2 - x^3 - x - 1)}\right) \to \text{Spec}(\mathbb{C})

:야코비 행렬

:

[ 3x^2 - 1, y ]

는 점

(1/\sqrt{3}, 0), (-1/\sqrt{3}, 0)

에서 0이 되지만, 이 점들은 다항식과의 교집합이 공집합이므로 매끄러운 사상이다.

매끄러운 스킴 $Y$ 가 주어졌을 때, 사영 사상 $Y\times X \to X$ 는 매끄럽다.

모든 벡터 다발 $E \to X$ 는 스킴 위의 매끄러운 사상이다. 예를 들어, $\mathbb{P}^n$ 위의 $\mathcal{O}(k)$ 와 연관된 벡터 다발은 점 하나를 뺀 가중 투영 공간이다.

:

O(k) = \mathbb{P}(1,\ldots,1,k) - \{[0:\cdots:0:1] \} \to \mathbb{P}^n

:이때 사상은

[x_0:\cdots:x_n:x_{n+1}] \to [x_0:\cdots:x_n]

와 같다.

직합 다발 $O(k)\oplus O(l)$ 은 섬유 곱을 사용하여 $O(k)\oplus O(l) = O(k)\times_X O(l)$ 와 같이 구성할 수 있다.

4. 5. 특이 다양체 (영어/일본어 문서)

사영 다양체 $X$의 기저 대수 $R$에 대해 $\text{Spec}$을 고려하면, 이를 $X$의 '''아핀 원뿔'''이라고 부르며, 원점은 항상 특이점이다. 예를 들어, 다음과 같은 오중 다면체의 '''아핀 원뿔'''을 생각해 볼 수 있다.^[1]

:$x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5$

그러면 야코비 행렬은 다음과 같다.^[1]

:$

\begin{bmatrix}

5x_0^4 & 5x_1^4 & 5x_2^4 & 5x_3^4 & 5x_4^4

\end{bmatrix}

$

이 행렬은 원점에서 0이 되므로, 이 원뿔은 특이점을 갖는다. 이와 같은 아핀 초곡면들은 비교적 단순한 대수 구조를 가지면서도 풍부한 기저 구조를 가지고 있기 때문에 특이점 이론에서 널리 사용된다.^[1]

특이 다양체의 또 다른 예는 매끄러운 다양체의 '''사영 원뿔'''이다. 매끄러운 사영 다양체 $X\subset\mathbb{P}^n$이 주어졌을 때, 이의 사영 원뿔은 $\mathbb{P}^{n+1}$에서 $X$와 교차하는 모든 직선들의 합집합이다. 예를 들어, 점들의 사영 원뿔^[1]

:$ \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(x^4 + y^4)} \right)$

은 다음과 같은 스킴이다.^[1]

:$ \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(x^4 + y^4)} \right)$

$z\neq 0$ 차트에서 살펴보면, 이것은 다음과 같은 스킴이다.^[1]

:$\text{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[X,Y]}{(X^4 + Y^4)} \right)$

그리고 이를 아핀 직선 $\mathbb{A}^1_Y$으로 투영하면, 이는 원점에서 퇴화하는 네 점의 집합이 된다. 이 스킴의 비특이성은 야코비 조건을 사용하여 확인할 수도 있다.^[1]

4. 6. 체의 비분리 확대 (영어/일본어 문서)

체의 비분리 확대는 매끄럽지 않은 사상을 정의하는 예시가 된다. 예를 들어 체 ${\mathbb{F}_p(t^p) \to \mathbb{F}_p(t)}$를 생각해보자.^[1] 이는 비분리 확대이므로, 여기서 정의되는 스킴의 사상은 매끄럽지 않다.^[1] 이 체 확장의 최소 다항식은 다음과 같다.

:

f(x) = x^p - t^p

이를 미분하면

df = 0

이므로, 쾨hler 미분은 0이 되지 않는다.^[1]

5. 역사

알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권^[2]에서 형식적으로 매끄러운 사상, 에탈 사상, 비분기 사상의 개념을 도입하였다.

참조

_[1] 문서 代数幾何入門講義 https://www.saiensu.[...] サイエンス社
_[2] 저널 Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie http://www.numdam.or[...] 2015-08-14
_[3] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[4] 웹사이트 Stacks Project Lemma 28.35.11 http://stacks.math.c[...]
_[5] 웹사이트 Stacks Project Lemma 28.36.7 http://stacks.math.c[...]
_[6] 웹사이트 Stacks Project Lemma 40.21.2 http://stacks.math.c[...]

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